{"id":748,"date":"2020-04-30T09:03:05","date_gmt":"2020-04-30T09:03:05","guid":{"rendered":"https:\/\/academiamalaguenaciencias.wordpress.com\/?p=748"},"modified":"2026-06-06T15:56:17","modified_gmt":"2026-06-06T15:56:17","slug":"una-moraleja-con-raiz-matematica-la-tesis-de-church-turing-sobre-la-equivalencia-de-modelos","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/amciencias.com\/Blog-Amc\/index.php\/2020\/04\/30\/una-moraleja-con-raiz-matematica-la-tesis-de-church-turing-sobre-la-equivalencia-de-modelos\/","title":{"rendered":"Una moraleja con ra\u00edz matem\u00e1tica: la Tesis de Church-Turing sobre la equivalencia de modelos"},"content":{"rendered":"

Rafael Morales Bueno<\/strong>
\nAcademia Malague\u00f1a de Ciencias<\/p>\n

En los alrededores de los a\u00f1os 30 del pasado siglo, ciertos descubrimientos en Matem\u00e1ticas relacionados con la computaci\u00f3n llevaron a varios cient\u00edficos a pensar que cada uno de ellos ten\u00eda raz\u00f3n en sus postulados y que los dem\u00e1s, sencillamente, estaban equivocados. En realidad, todos estaban equivocados y, con el paso del tiempo, comprendieron que era mucho m\u00e1s eficaz para la Ciencia tener un poco m\u00e1s de humildad y procurar colaborar en sus investigaciones. De esta forma, mediante la colaboraci\u00f3n de cient\u00edficos y universidades, se produjeron los m\u00e1s importantes avances cient\u00edficos en esta disciplina.<\/p>\n

Vamos a realizar un breve recorrido por esta curiosa historia que, desde mi punto de vista, nos deja una interesante moraleja. David Hilbert<\/a><\/strong>, un destacado matem\u00e1tico alem\u00e1n de finales del siglo XIX y principios del XX, de formaci\u00f3n prusiana, fue profesor de la Universidad de K\u00f6nigsberg y posteriormente Catedr\u00e1tico en la de G\u00f6ttingen. Analiz\u00f3 la importancia de saber discernir entre lo que es computable y lo que no lo es. Demostr\u00f3 que ciertas actividades son computables (las reglas est\u00e1n claras, se hacen en un tiempo finito y no dependen de qui\u00e9n las haga): sumar, restar, hacer una divisi\u00f3n de polinomios. Existen muchas otras acciones humanas que, evidentemente, no son computables, como por ejemplo hacer un buen gazpachuelo. \u00bfD\u00f3nde est\u00e1 la frontera entre lo computable y lo no computable? Para abordar esta cuesti\u00f3n diversos cient\u00edficos definieron algunos modelos matem\u00e1ticos. Vamos a citar a cuatro destacados cient\u00edficos matem\u00e1ticos, todos ellos expertos en l\u00f3gica, quiz\u00e1s los m\u00e1s significativos para documentar nuestra moraleja.<\/p>\n

\"Enigma_Turing\"
(Izquierda) Retrato de Alan M. Turing. (Derecha) Cartel anunciador de la famosa pel\u00edcula \u00abEl C\u00f3digo ENIGMA\u00bb que populariz\u00f3 la imagen del matem\u00e1tico que logr\u00f3 descifrar las claves de las comunicaciones germanas durante la Segunda Guerra Mundial.<\/figcaption><\/figure>\n

El primero de ellos al que nos referimos es el brit\u00e1nico Alan M. Turing<\/a><\/strong>, profesor de la Universidad de Cambridge, precursor de la inform\u00e1tica moderna y famoso por haber logrado evitar miles de muertes durante la Segunda Guerra Mundial gracias a haber podido descifrar el c\u00f3digo de comunicaciones de los submarinos alemanes (C\u00f3digo ENIGMA). Turing defini\u00f3 la conocida hoy como m\u00e1quina de Turing (que \u00e9l llam\u00f3 \u201cA machine<\/em>\u201d, autom\u00e1tica, y para la que tom\u00f3 como modelo lo que hac\u00edan los \u201ccomputers<\/em>\u201d del siglo XIX, que no eran m\u00e1s que personas que se ganaban su salario haciendo c\u00e1lculos para las tablas de logaritmos, tablas trigonom\u00e9tricas, de navegaci\u00f3n, etc.).<\/p>\n

El segundo cient\u00edfico que vamos a citar es Sthepen Cole J. Kleene<\/a><\/strong>, eminente estudiante en el Universidad de Princeton qui\u00e9n realiz\u00f3 su tesis doctoral bajo la direcci\u00f3n de Alonzo Church -de qui\u00e9n hablaremos posteriormente-, pasando a ser un renombrado profesor en la\u00a0 Universidad de Wisconsin-Madison. Sus trabajos de investigaci\u00f3n derivan del Teorema de Incompletitud de G\u00f6del<\/a><\/strong> (Premio Albert Einstein, 1951). Conviene que asimilemos de forma intuitiva este teorema tomando como ejemplo la situaci\u00f3n que estamos viviendo por causa de la pandemia de COVID19. Contemplar entonces las opciones que tenemos: confinados o no confinados, infectados o no infectados. Kurt G\u00f6del demostr\u00f3 que un sistema no puede ser a la vez COMPLETO (todos los infectados por COVID19 est\u00e1n confinados) y CONSISTENTE (ning\u00fan no infectado por COVID19 est\u00e1 confinado). Es decir, si definimos una norma que sea COMPLETA, seguro que confinamos a alguien que no est\u00e1 infectado (INCONSISTENTE) y si, por el contrario, definimos una norma CONSISTENTE, seguro que alg\u00fan infectado no est\u00e1 confinado (INCOMPLETO), y esto no es evitable de ninguna manera. En la demostraci\u00f3n de ese teorema se usan unas funciones que desarroll\u00f3 Stephen C. Kleene y que las denomin\u00f3 \u201cfunciones recursivas\u201d.<\/p>\n

Por su parte, el tercer investigador en liza es el norteamericano Alonzo Church<\/a><\/strong>, que fue profesor en la Universidad de Princeton y dirigi\u00f3 la Tesis Doctoral de Turing, y fue qui\u00e9n defini\u00f3 el lambda-c\u00e1lculo, que es un sistema formal dise\u00f1ado para investigar la definici\u00f3n de funci\u00f3n, la noci\u00f3n de aplicaci\u00f3n de funciones y la recursi\u00f3n.<\/p>\n

En cuarto lugar, el l\u00f3gico matem\u00e1tico de origen polaco Emil Leon Post<\/a><\/strong> -en 1904, con tan solo siete a\u00f1os, emigr\u00f3 a Nueva York con sus padres-, tras una excelente trayectoria como estudiante con una brillante tesis doctoral, dedic\u00f3 su vida a la ense\u00f1anza secundaria en su ciudad de acogida, aunque siempre permaneci\u00f3 en contacto con destacados investigadores de diversas universidades. Defini\u00f3 un modelo de computaci\u00f3n denominado la m\u00e1quina de Post (al definirla en fechas cercanas a la m\u00e1quina de Turing y tener la misma finalidad de formalizar lo computable, algunos colegas sospecharon que podr\u00eda tratarse de alg\u00fan tipo de plagio, pero pronto se demostr\u00f3 que fue un descubrimiento independiente y original; esto es frecuente en la ciencia: cuando se llega a cierta madurez en un aspecto, el mismo resultado o similar surge en distintos grupos de investigaci\u00f3n; lo mismo ocurri\u00f3 con el c\u00e1lculo diferencial e integral descubiertos a la vez por Newton y Leibnitz).<\/p>\n

Como vemos se trata de cuatro modelos que se deben a la creatividad y al genio de otros tantos investigadores, d\u00e1ndose la circunstancia curiosa de que Church fue profesor de los otros tres investigadores. Pues bien, durante los siguientes a\u00f1os cada uno de ellos se esforz\u00f3 en demostrar que su propio modelo era el mejor y que los dem\u00e1s estaban equivocados. \u00bfC\u00f3mo? Buscando alguna funci\u00f3n o proceso que fuera intuitivamente calculable, que se pudiera hacer con su modelo y en el que los otros modelos fallaran. Lo que sucedi\u00f3 fue que cada problema que un investigador supon\u00eda que fallar\u00eda en otro modelo, resultaba que no fallaba. Ninguno daba con el perfecto contraejemplo que funcionara a favor de un modelo concreto.<\/p>\n

\"Church
Church y Turing, a quienes se debe la conocida tesis sobre la equivalencia de modelos.<\/figcaption><\/figure>\n

Hacia finales de los a\u00f1os 30 del siglo XX, comenzaron a preguntarse \u00bfy si mi modelo es equivalente a ese otro del que intento demostrar que es diferente? Las respuestas que cada uno de ellos fue encontrando les permitieron comprobar que este nuevo punto de vista era el correcto: la equivalencia de los modelos. De \u00e9sta manera, y mediante la cooperaci\u00f3n, comenzaron a demostrar la equivalencia de modelos dos a dos, hasta llegar a la conclusi\u00f3n de que todos ellos eran equivalentes. En d\u00e9cadas posteriores se han desarrollado m\u00e1s modelos num\u00e9ricos que, a lo largo del siglo XX (la m\u00e1quina RAM, el lenguaje WHILE,\u2026) tambi\u00e9n se han demostrado equivalentes. El principio que afirma que todos los futuros modelos tambi\u00e9n ser\u00e1n equivalentes se conoce como la Tesis de Church-Turing<\/strong>.<\/p>\n

La moraleja de esta historia es que resulta conveniente ser humilde y es mejor pensar que estamos cerca los unos de los otros, antes que intentar demostrar que lo de uno es mejor que lo del otro. Tomemos pues lo mejor de cada opci\u00f3n.<\/p>\n

 <\/p>\n

*Imagen de cabecera (de izquierda a derecha): Hilbert, Turing, Kleen, Post.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Modelos matem\u00e1ticos equivalentes, sistemas computables, completos y consistentes. <\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":749,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"image","meta":{"_jetpack_newsletter_access":"","_jetpack_dont_email_post_to_subs":false,"_jetpack_newsletter_tier_id":0,"_jetpack_memberships_contains_paywalled_content":false,"_jetpack_feature_clip_id":0,"_jetpack_memberships_contains_paid_content":false,"footnotes":"","jetpack_post_was_ever_published":false},"categories":[22,207,208,209,210,211,212,213],"tags":[],"class_list":["post-748","post","type-post","status-publish","format-image","has-post-thumbnail","hentry","category-cc-matematicas","category-computacion","category-matematicas","category-modelos-matematicos","category-modelos-numericos","category-rafael-morales-bueno","category-simulacion-numerica","category-tesis-de-church-turing","post_format-post-format-image"],"jetpack_likes_enabled":true,"jetpack_sharing_enabled":true,"jetpack_featured_media_url":"https:\/\/amciencias.com\/Blog-Amc\/wp-content\/uploads\/2020\/04\/todos-juntos_01-scaled.jpg","_links":{"self":[{"href":"https:\/\/amciencias.com\/Blog-Amc\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/748","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/amciencias.com\/Blog-Amc\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/amciencias.com\/Blog-Amc\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/amciencias.com\/Blog-Amc\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/amciencias.com\/Blog-Amc\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=748"}],"version-history":[{"count":1,"href":"https:\/\/amciencias.com\/Blog-Amc\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/748\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":6640,"href":"https:\/\/amciencias.com\/Blog-Amc\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/748\/revisions\/6640"}],"wp:featuredmedia":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/amciencias.com\/Blog-Amc\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/media\/749"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/amciencias.com\/Blog-Amc\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=748"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/amciencias.com\/Blog-Amc\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=748"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/amciencias.com\/Blog-Amc\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=748"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}